Spēle galvas palauzīšanai – viltīgajiem metamajiem kauliņiem uzrodas jauni 'biedri'  (4)

Variantā, ko rādījām sākotnēji, šajā spēlē ir iespējams izvēlēties vienu no sešiem kauliņiem. Visiem kopējā skaldņu vērtību summa ir identiska (42), taču katram kauliņam uz skaldnēm uzrakstītie skaitļi atšķiras. To, kuru kauliņu labāk izvēlēties, lai palielinātu savas izredzes uzvarēt, jau paskaidrojām iepriekš. Ja atbildi zini, lasi tālāk. Ja nē, iepazīsties ar spēli, noskatoties iepriekšējos divus video, kas pieejami, klikšķinot uz saitēm:

Šādus kauliņus sauc par Efrona kauliņiem. Principā par Efrona kauliņiem sauc tādus, kur nav iespējams pateikt, ka viennozīmīgi kāds ir visstiprākais no visiem. Protams, viens kauliņš ir stiprāks par kādu citu. Ja piemēram astotnieku kauliņš (uz piecām skaldnēm astoņnieki, uz vienas divnieks) ir stiprāks par to, kam uz visām skaldnēm ir septiņnieki, un desmitnieku kauliņš (uz trim skaldnēm desmitnieki, uz trim četrinieki) ir stiprāks par astoņnieku kauliņu, tas nenozīmē, ka desmitnieku kauliņš viennozīmīgi būs stiprāks par septiņnieku kauliņu, un aprēķini par varbūtībām uzvarēt to arī pierāda, skaidro Meijers. Citiem vārdiem sakot – Efrona princips ir tad, kad nedarbojas likumsakarība: ja a>b un b>c, tad noteikti jābūt, ka a>c.

Lieta tāda, ka pēc vairākiem mačiem spēlētāji, visdrīzāk, būs "atkoduši", kurš kauliņš jāizvēlas, lai ar lielāku varbūtību uzveiktu pretinieku. Principā visbiežāk uzvarēs tas, kurš kauliņu izvēlas otrais, pieņemot, ka princips saprasts un izvēle izdarīta pareizi. Attēlā apakšā vari aplūkot aprēķinātās varbūtības uzvarēt ar jebkuru no sešiem kauliņiem attiecībā pret jebkuru citu.

Bultas norāda, kurš kauliņš uzvar kuru, un starp tām aprēķināta varbūtība, ar kādu kauliņš uzvar izdarot vienu metienu. Zaļā krāsā ir uzvaras ar varbūtību vismaz divi pret trīs.

Ja tiek spēlēta spēle, kurā tiek izdarīts 21 metiens, un uzvarētājam, protams, jāiegūst vismaz 11 punkti, tad tabulā zemāk ir parādīts, kādas izredzes ir uzvarēt spelētājam ar statistiski neizdevīgāko kauliņu. Aplūkoti visi iespējamie gadījumi:

Lai spēli padarītu interesantāku, varam ieviest jaunu kauliņu! Iepazīsties – spēlei pievienojas kauliņš, uz kura skaldnēm 0; 0; 9; 10; 11 un 12. Ko nu? Viens no risinājuma piemēriem tabulā apakšā:

Varam ieviest spēlē tādu kauliņu, kurš uzvar šo, bet nu tas vairs neuzvarēs sākotnējos sešus, kā redzams aprēķinos tabulā apakšā:

Lai spēli padarītu aizraujošāku, var, piemēram, darīt tā – viens spēlētājs izvēlas kādu no esošajiem kauliņiem, bet otram ir dots laiks (teiksim, ne vairāk par minūti) uzzīmēt savu kauliņu, ar kuru pretinieku sakaut būtu lielākas izredzes. Nosacījums – skaldņu vērtību summai aizvien jābūt nemainīgai, proti, 42.