Hārvarda Universitātes matemātiķis atrisina 130 gadus senu šaha 'prātmežģi'  (17)

Tātad – cik dažādos izvietojumos uz standarta šaha laukuma var novietot astoņas dāmas tā, lai neviena neapdraudētu nevienu citu? Kā raksta "Quanta Magazine", šis jautājums pirmo reizi parādījās šaha spēlei veltītā izdevumā 1848. gadā. Atbilde uz šo jautājumu jau sen zināma – tās ir 92 kombinācijas.

Taču 1869. gadā šis uzdevums bija attīstījies līdz daudz sarežģītākajam variantam: cik daudz veidos var izvietot n dāmas uz laukuma ar izmēru n*n? Piemēram, tas var būt 50*50 lauciņu laukums ar 50 dāmām, vai pat 1000*1000 laukums ar 1000 dāmām. Vai ir viena formula, ar kuru var aplēst šo kombināciju skaitu? Hārvarda Universitātes matemātiķis Maikls Simkins uzskata, ka ir tādu atradis. Jau iepriekš ar datorsimulācijām veikti aptuveni aprēķini, taču Simkins esot pirmais, kas to ietērpis konkrētā formulā.

Jūlijā pirmsdrukas resursā "arXiv" publicētajā pētījumā "The number of n–queens configurations" Simkins aplēsis, ka ļoti lielu šaha laukumu gadījumā tie būtu aptuveni (0.143n)ⁿ iespējamie izkārtojumi.

Viens no iemesliem ir tāds, ka nav acīmredzamu veidu, kā risinājumu vienkāršot. Pat uz samērā neliela šaha laukuma potenciālais izkārtojumu skaits ir milzīgs. Uz lieliem laukumiem – teju prātam netverams (atceries vieninieku ar pieciem miljoniem nuļļu aiz tā). Milzīgu aprēķinu veikšanai matemātiķi bieži cer atrast veidu, kā aprēķinus sadalīt vienkāršākās daļās, meklējot īpašības, kas cikliski atkārtojas (šajā gadījumā tas būtu dāmu izkārtojums, kas pēc noteikta laika atkārtojas atkal un atkal). Taču problēma arī tāda, ka ne visi šaha lauciņi "radīti vienlīdzīgi".

Novietojot dāmu šaha laukuma centrā (aptuveni centrā, nevis precīzi, jo lauciņu skaits ir pāra), tā var uzbrukt vienlīdz gan uz abām pusēm rindā, gan kolonnā, gan pa diagonālēm. Noliekot dāmu laukuma malā, sarūk to lauciņu skaits, kurus konkrētā dāma var apdraudēt pa diagonālēm un kur attiecīgi nedrīkst novietot citu figūru. Standarta šaha laukumā pie centra novietota dāma uzreiz izslēdz 27 no 64 lauciņiem, bet pie laukuma malas izvietota dāma apdraud jau vairs tikai 21 lauciņu. Citiem vārdiem sakot – šaha laukumam nav šādas simetriskas struktūras, un lielu laukumu gadījumā šī atšķirība pieaug. Piemēram, 12*12 lauciņu laukumā atšķirība starp malā novietotu (apdraud 33 lauciņus) un pie centra novietotu (apdraud 43 lauciņus) dāmu būs jau 10.

Sākotnēji Simkins lūkoja šo problēmu vienkāršot ar šādu viltību – šaha laukumu pārvērst nevis par plakni ar konkrētām robežām, aiz kurām dāma vairs nevar virzīties, bet gan lūkoja aprēķināt iespējamo dāmu kombināciju skaitu tora (virtuļa veida) rūtiņu laukumā. Šajā modificētajā versijā šaha laukumam vairs nav malu, attiecīgi katrs lauciņš ir vienādas nozīmes. Šīs simetrijas dēļ risināmā problēma šķietami kļūst vienkāršāka – katra dāma var apdraudēt vienādu skaitu lauciņu.

"Var vienkārši dažas dāmas pārvietot citur vai, piemēram, ielikt divas figūras vietā, izņemto ārā tikai vienu," izdevumam "Quanta Magazine" skaidro Monaša Universitātes matemātiķis profesors Nikolass Vormalds.

Tomēr atkal bija zināms riņķa dancis, ko ieviesa asimetrija, tāpēc Simkinam nācās pielāgot algoritmu, ko iepriekš izmantoja aprēķinos ar tora formas laukumu. Lielos laukumos bija izteikta iezīme – visvairāk dāmu iespējams izvietot tieši gar malām, bet, jo tuvāk centram, jo proporcionāli mazāk figūru var novietot. Pat tādos, kur lauciņu skaits ir ap 100*100, šis efekts sāka pārmākt visas citas varbūtības – gandrīz katrs no iespējamajiem izvietojumiem bija ar lielu figūru daudzumu pēc iespējas tuvāk laukuma malām, bet mazāku figūru skaitu tuvu centram. Tāpat matemātiķis sadalīja ļoti lielos laukumus mazākos kvadrātos (katrs tāpat sastāvēja no tūkstošiem lauciņu) un aplūkoja figūru iespējamos izkārtojumus šajās sekcijās. Cik dāmu ir katrā no sekcijām (tajās, kas tuvāk lielā laukuma malai, tajās, kas tuvāk centram?), kā arī izvietoja tās nevis nejaušināti, bet uzsvaru liekot uz lauciņiem, kur figūrām jāatrodas ar lielāku varbūtību, ņemot vērā, ka malas ierobežo to iespējamos uzbrukuma virzienus. Pēc tam atkal "atkāpjoties" atpakaļ un aplūkojot visu "lielo bildi" kopā, Simkins spēja aplēst gan minimālo derīgu izkārtojumu skaitu, gan arī aptuveni maksimālo derīgu izkārtojumu skaitu.

Lūk, šķietami vienkāršs jautājums, kam nemaz nav tik vienkārša risinājuma. Šis ir tikai vispārināts pārstāts – matemātikas (un arī šaha) entuziasti ar visām niansēm var iepazīties publicētajā pētījumā, kas atrodams šeit.