Leonīds Grabovskis dzimis 1949. gada 3. decembrī Rīgā. Mācījies Gulbenes 2. vidusskolā, beidzis Latvijas Valsts Konservatorijas Teātra fakultāti. Kopš 1975. gada strādājis Andreja Upīša Latvijas PSR Valsts akadēmiskajā drāmas teātrī (Tagadējā Nacionālajā teātrī).
Starp Grabovska spilgtākajām lomām tiek atzīmētas - Džefrijs (Dž. Goldmena izrādē "Lauva ziemā"), Melnais bruņinieks (Raiņa "Uguns un nakts"), Dons Huans (V.Šekspīra "Liela brēka, maza vilna"), Hamberts Hamberts (E.Olbija "Lolita"), Raskoļņikovs (F.Dostojevska "Noziegums un sods"), Jalmārs (H.Ibsena "Meža pīle"). Aktieris spēlējis arī komiskas lomas - Gustavu ar tauri (Ē.Kestnera "Emīls un Berlīnes zēni"), Hļestakovu (N.Gogoļa "Revidents"), Stabuli (V.Šekspīra "Sapnis vasaras naktī").