Baušķenieks dzimis 1910. gada 25. augustā Jelgavā. 1930. gadā viņš iestājās Latvijas Universitātes Arhitektūras fakultātē, kur studēja trīs gadus, bet 1933. gadā tika uzņemts Latvijas Mākslas akadēmijā. (LMA) Baušķenieks mācījās pie klasiķiem – Kārļa Miesnieka, Konrāda Ubāna, Voldemāra Tones, Ģederta Eliasa, Ludolfa Liberta, absolvējot LMA 1942. gadā ar diplomdarbu "Uz kuģa klāja".
Otrā pasaules kara notikumi aizveda mākslinieku uz Vāciju, vēlāk Nīderlandi, bet dzimtenē viņš atgriezās 1946. gadā. Strādājis dažādus ar noformēšanu un pedagoģiju saistītus darbus, Baušķenieks pie regulāras gleznošanas atgriezās vien 50. gadu vidū. Par Latvijas Mākslinieku savienības biedru gleznotājs kļuva vien 49 gadu vecumā, bet savu pirmo personālizstādi sarīkoja vēl vēlāk – 1975. gadā, esot 64 gadus vecs.