Baušķenieks dzimis 1910. gada 25. augustā Jelgavā. 1930. gadā viņš iestājās Latvijas Universitātes Arhitektūras fakultātē, kur studēja trīs gadus, bet 1933. gadā tika uzņemts Latvijas Mākslas akadēmijā. (LMA) Baušķenieks mācījās pie klasiķiem – Kārļa Miesnieka, Konrāda Ubāna, Voldemāra Tones, Ģederta Eliasa, Ludolfa Liberta, absolvējot LMA 1942. gadā ar diplomdarbu "Uz kuģa klāja".
Otrā pasaules kara notikumi aizveda mākslinieku uz Vāciju, vēlāk Nīderlandi, bet dzimtenē viņš atgriezās 1946. gadā. Strādājis dažādus ar noformēšanu un pedagoģiju saistītus darbus, Baušķenieks pie regulāras gleznošanas atgriezās vien 50. gadu vidū. Par Latvijas Mākslinieku savienības biedru gleznotājs kļuva vien 49 gadu vecumā, bet savu pirmo personālizstādi sarīkoja vēl vēlāk – 1975. gadā, esot 64 gadus vecs.
Īsu brīdi 80. gadu sākumā Baušķenieks uz dažiem gadiem tika aizliegts, bet īpaši ievēroti un populāri Baušķenieka satīriskie un laikmetu asprātīgi atainojošie darbi kļuva 80. gadu otrajā pusē, Atmodas laikā, un pēc neatkarības atjaunošanas, kad gleznotājs turpināja strādāt un iemūžināt laikmetu no sava labestīgi ironiskajā manierē. Baušķenieka darbi 1988. gadā bija iekļauti izstādē "Rīga – latviešu avangards" Rietumvācijā.
Dzīves laikā Baušķeniekam bijušas vairākas personālizstādes, no tām divas Latvijas Nacionālajā mākslas muzejā. Viņa darbi eksponēti arī Lietuvā, Vācijā, Krievijā, ASV, Francijā un Austrālijā. Baušķenieka gleznas atrodas privātās kolekcijās Latvijā un ārzemēs.
1995. gadā māksliniekam piešķirts Triju zvaigžņu ordenis.
Gleznotāja mūža pēdējie darbi tapa 2005. gadā, divus gadus pirms aiziešanas mūžībā 96 gadu vecumā.
"Jā, manās gleznās galvenā ir saturiskā puse. Man arī patīk skaisti krāsu laukumi. Apbrīnoju Gogēna un Van Goga krāsu pasauli. Varbūt tuvāks tomēr ir Dalī. Bet es gleznoju, kā protu. Un ņemos apkārt katrai bildei, kamēr iznāk, kā esmu iedomājies. Man patīk pats darba process, tās saldās mokas. Ieceres bieži vien nāk nejauši, kā pēkšņa doma, atskārsme. Tad uzreiz cenšos nofiksēt — vai nu ar mazu skici, vai vienkārši pierakstu," ta par savu daiļradi teicis pats Auseklis Baušķenieks.